დაამთავრა თბილისის თეატრალური ინსტიტუტის სარეჟისორო ფაკულტეტი. 1962 წლიდან მუშაობდა შოთა რუსთაველის სახელობის თეტრში. 1979 წელს გახდა თეატრის მთავარი რეჟისორი, 1980 წლიდან კი - მისი სამხატვრო ხელმძღვანელი. 1965 წელს რუსთაველის თეატრის სცენაზე სტურუამ დადგა ა. მილერის სეილემის პროცესი, რამაც რეჟისორს პირველი ნამდვილი წარმატება მოუტანა. თეატრალური ფორმის ოსტატობა გამოჩნდა მის მეორე მნიშვნელოვან ნამუშევარში, დ. კლდიაშვილის სამანიშვილის დედინაცვალი, რომელიც თემურ ჩხეიძესთან ერთად დადგა. მნიშვნელოვანი წარმატება მოჰყვა მის სპექტაკლს "ხანუმა".
1970-იან წლებში უკვე გაჩნდა ცნება "რობერტ სტურუას თეატრი". მას გამორჩეული აღიარება მოუტანა პ. კაკაბაძის "ყვარყვარემ", ბ. ბრეხტის "კავკასიური ცარცის წრემ" (1975), და შექსპირის "რიჩარდ III-მ" (1979).
1980-იანი წლები განსაკუთრებით ნაყოფიერია სტურუას შემოქმედებაში. ამ პერიოდში იდგმება: თ. ჭილაძის "როლი დამწყები მსახიობი გოგონასთვის" (1980), მ. შარპოვის "ლურჯი ცხენები წითელ ბალახზე (1980), რ. იბრაგიმბეკოვის დაკრძალვა კალიფორნიაში (1983) და ა.შ..
1987 წელს სტურუა დგამს "მეფე ლირს". 1994 წელს სტურუა გოგებაშვილის დედაენის მიხედვით დგამს სპექტაკლს "იაკობის სახარება". 1996 წელს იქმნება "ლამარა", გ. რობაქიძის ლირიკულ-მითოლოგიური დრამის მიხედვით. 1997 წელს ლ. თაბუკაშვილის პიესის მიხედვით დადგა "მერე რა, რომ სველია სველი იასამანი". 1998 წელს ახალგაზრდა რეჟისორ დ. საყვარელიძესთან ერთად სტურუა დგამს კ. გოცის პიესას "ქალი-გველი". ამავე წელს მოსკოვში, თეატრ "სატირიკონში", იდგმება სტურუას "ჰამლეტი", რომელშიც მთავარ როლს ასრულებს კ. რაიკინი. 2000 წელს ისევ მოსკოვში, თეატრში "Et cetera" იდგმება შეილოკი (შექსპირის ვენეციელი ვაჭრის მიხედვით).ერთი წლის წინ სტურუამ რუსთაველის თეატრი დატოვა.
რეჟისორი ბევრს მუშაობდა საზღვარგარეთ, მსოფლიოს სხვადასხვა თეატრში დადგმული აქვს შექსპირის, სოფოკლეს, მოლიერის, ჩეხოვის, ბრეხტის პიესები. მიღებული აქვს მრავალი თეატრალური პრემია. საქართველოს სახელმწიფო პრემია (1996), სსრკ სახელმწიფო პრემია (1979), რუსეთის ფედერაციის სახელწიფო პრემია (2000), კოტე მარჯანიშვილის სახელობის პრემია (1976), შოთა რუსთაველის სახელობის პრემია (1981), მიხეილ თუმანიშვილის სახელობის პრემია (1997), ალ. ყაზბეგის სახელობის პრემია (1999) და სხვა. 2008 წელს სტურუა დაახელებულ იქნება წლის ადამიანად და "ოქროს პერგამენტის" ლაურეატი გახდა.