1872 წლიდან სწავლობდა ნოვოროსიის (ოდესა) უნივერსიტეტში ფიზიკა-მათემატიკის ფაკულტეტის საბუნებისმეტყველო განყოფილებაზე. 1873 წლიდან იყო ევროპაში, ეცნობოდა ლოთარ მაიერისა და იოჰანეს ვილიცენუსის ლაბორატორიებს და იქ მიმდინარე სამუშაოს. 1881 წელს გახდა ქიმიის მაგისტრი ნოვოროსიის უნივერსიტეტში, 1885 წელს დოქტორი. ერთი წლით ადრე, 1884 წელს დაწყებული საქმიანობა გააგრძელა, როგორც დოცენტმა, ხოლო სადოქტოროს დაცვის შემდეგ როგორც პროფესორმა. 1885-1917 წწ. მელიქიშვილი იყო ნოვოროსიისკის უნივერსიტეტის აგრონიმიული ქიმიის კათედრის პროფესორი. მელიქიშვილი იყო პირველი, რომელმაც მიიღო ორგანულ ნაერთთა კლასი, რომელთაც გლიციდმჟავები უწოდა. მელიქიშვილმა თავის მოსწავლე ლევ პიზარჟევსკისთან ერთად მიიღო ზოგიერთი ელემენტის (U,Nb,Ta,W,Mo,B,Ti,V) ზემჟავები. მათ ასევე აჩვენეს, რომ წყალბადის ზეჟანგის მრავალი სავარაუდო ფორმულიდან ყველაზე სწორი და მისაღებია H-O-O-H. მელიქიშვილი იყო პირველი, ვინც მიიღო ამონიუმის ზეჟანგი და ნატრიუმის პერბორატი. ივანე ჯავახიშვილთან ერთად პეტრე მელიქიშვილი იყო ერთ-ერთო მთავარი ფიგურა თბილისის უნივერსიტეტის დაარსების საქმეში.

1900 წელს მელიქიშვილმა ლევ პიზარჟევსკისთან ერთად მიიღო პეტერბურგის აკადემიის უმაღლესი ჯილდო, ლომონოსოვის პრემია მონოგრაფიისთვის ზემჟავებისა და ზეჟანგების შესახებ, რომელიც 1899 წელს გამოსცა. ამ შრომას მაღალი შეფასება მისცა დიმიტრი მენდელეევმა, რომელიც მასში საკუთარი (და აგრეთვე მენდელეევისგან დამოუკიდებლად მომუშავე ლოთარ მაიერის) სისტემის მტკიცე დასტურს ხედავდა. 1927 წელს მელიქიშვილი აირჩიეს საბჭოთა კავშირის მეცნიერებათა აკადემიის წევრ-კორესპონდენტად.

მელიქიშვილი 1927 წლის 23 მარტს გარდაიცვალა.